Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dinyatakan dengan menggunakan tanda/lambang ketidaksamaan/pertidaksamaan dengan satu variable berpangkat satu.

Lambang Pertidaksamaan	Arti
>	Lebih dari
>	Lebih dari atau sama dengan
<	Kurang dari
<	Kurang dari atau sama dengan

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Konsep Pertidaksamaan Linear

Misal a, b adalah bilangan real, dengan a ≠ 0. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV) adalah kalimat terbuka yang memiliki sebuah variabel yang dinyatakan dengan bentuk ax + b > 0 atau ax + b < 0 atau ax + b ≤ 0 atau ax + b ≥ 0.

• Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)

Contoh

Rumah Ibu Suci dibangun di atas sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang panjangnya 20 m dan lebarnya (6y – 1) m. Jika Luas tanah Ibu Suci tidak kurang dari 100 m2,

1. berapakah lebar terkecil tanah ibu Suci?
2. jika biaya untuk membangun rumah di atas tanah seluas 1m2 dibutuhkan uang Rp2.000.000,- Berapakah biaya terkecil yang harus disediakan Ibu Suci jika seluruh tanahnya dibangun?

Ingat kembali rumus Luas persegi panjang, Luas = panjang x lebar, Untuk tanah ibu Suci kita peroleh:

Luas = 20 × (6y – 1)

= 120y – 20 (ingatkah kamu bagaimana pengerjaannya? Jika Luas tanah ibu Suci tidak kurang dari 100 m2, maka model matematikanya adalah: 120y – 20 ≥ 100

Lebar tanah terkecil diperoleh untuk y paling kecil. Mengapa?

120y -20 ≥ 100
120y -20 + 20 ≥ 100 + 20 (kedua ruas ditambah 20)
120y ≥ 120 (kedua ruas dibagi 120)
y ≥ 1

Nilai y paling kecil dari penyelesaian y ≥ 1 adalah 1. Mengapa?
Lebar tanah terkecil diperoleh jika y = 1
Dengan mengganti y = 1 ke persamaan 6y – 1 diperoleh lebar = 6(1) – 1 = 5
Jadi lebar tanah terkecil Ibu Suci adalah 5 m.

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

1. Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurang dengan sebuah bilangan maka tanda pertidaksamaan tetap.
2. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan sebuah bilangan positif maka tanda pertidaksamaan tetap.
3. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan sebuah bilangan negatif maka tanda pertidaksamaan harus diubah (< menjadi >, ≤ menjadi ≥, dan sebaliknya

Contoh :

3x + 6 ≥ 2x – 5
5q – 1 < 0
x dan q disebut variabel

Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)

1. Menambah atau mengurangi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan yang sama

Contoh :

Carilah penyelesaian x + 6 ≥ 8 jawab :

x + 6 – 6 ≥ 8 – 6
x ≥ 2

2. Mengalikan atau membagi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan yang Jika dikalikan atau dibagi bilangan negatif maka tanda pertidaksamaannya dibalik

Contoh :

Carilah penyelesaian 2x – 4 < 10 jawab :

2x – 4 + 4 < 10 + 4
2x < 14

`{2x}/2 < 14/2`

`x < 7`

Carilah penyelesaian 3 – 4x ≥ 19 Jawab:

3 – 4x – 3 ≥ 19 – 3

-4x ≥ 16

`{-4x}/4 >/{ } {16}/4`

-x ≥ 4

-x . -1 ≤ 4 . -1        à kedua ruas dikalikan -1, sehingga lambang

pertidaksamaannya dibalik

x ≤ – 4

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan lambing <, >, ≥, dan  ≤ .

Contohnya bentuk pertidaksamaan : y + 7 < 7 dan 2y + 1 > y + 4

Pertidaksamaan linier dengan satu variable adalah suatu kalimat terbuka yang hanya memuat satu variable dengan derajad satu, yang dihubungkan oleh lambang <, >, ≥, dan  ≤. Variablenya hanya satu yaitu y dan berderajad satu. Pertidaksamaan yang demikian disebut pertidaksamaan linier dengan satu variable.

Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu variable

    Sifat- sifat pertidaksamaan adalah :

1. Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula
2. Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif , maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula
3. Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif , maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula bila arah dari tanda ketidaksamaan dibalik
4. Jika pertidaksamaannya mengandung pecahan, cara menyelesaikannya adalah mengalikan kedua ruasnya dengan KPK penyebut-penyebutnya sehingga penyebutnya hilang .

Contoh :

1. Tentukan himpunan penyelesaian 3x – 7 > 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4,… ,15}

Jawab :

3x – 7 > 2x + 2; x є {1, 2, 3, 4… 15}

3x –2x – 7 > 2x – 2x + 2  ( kedua ruas dikurangi 2x)

x – 7 > 2

x – 7 + 7 > 2 + 7  ( kedua ruas dikurangi7 )

x > 9

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x ­| x > 9 ; x bilangan asli ≤ 15}

HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15}

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 1 < x + 3  dengan x variable pada himpunan bilangan cacah.

Jawab :

3x – 1 < x + 3
3x – 1+ 1 < x + 3 + 1 (kedua ruas ditambah 1 )
3x < x + 4
3x + (-x) < x + (-x) +4 (kedua ruas ditambah – x)
2x < 4
X < 2

Karena x anggota bilangan cacah maka yang memenuhi x < 2 adalah x = 0 atau x = 1
Jadi himpunan pnyelesaiannya adalah { 0,1 } .
Dalam garis bilangan, grafik himpunan penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

-1      0      1       2      3       4      5

Penyelesaian

Contoh :

x +    < 6 +
x         < 6 +  –
x          < 4 +
x –        < 4
–     < 4
< 4
-x         < 4 . 6
x         > -24

Contoh :

Sebuah perahu angkut dapat menampung dengan berat tidak lebih dari 1  ton . jika sebuah kotak beratnya 15 kg, maka berapa paling banyak kotak yang dapat diangkut oleh perahu ?

Jawab :

Kalimat matematika : 15 kg x ≤ 1  ton

Penyelesaian : 15 kg x ≤ 1 .500 kg

 x ≤ 1 .500 kg
15 kg
x ≤     100

jadi perahu paling banyak mengangkut 100 kotak.

Latihan

Pehatikan gambar atau kalimat berikut :

1. Gambar disamping adalah rambu lalu lintas. Artinya adalah kendaraan yang lewat di jalan itu kecepatannya tidak boleh lebih dari 60 km/jam ( kecepatannya maksimum 60 km/ jam )
2. Daya angkut 800 kg artinya muatan maksimum yang boleh diangkut mobil tersebut 800 kg. Dengan kata lain muatan mobil tersebut harus kurang dari atau 800 kg sama dengan 800 kg
3. Usia pemain sepak bola yunior tidak boleh lebih dari 18 tahun.
4. Kriteria kelulusan siswa SMP tahun 2007 adalah nilai ujian nasional tidak boleh kurang dari 4,25

Kerjakan dengan teman sebangku !

Jawab pertanyaan berikut dengan memperhatikan gambar atau kalimat di atas :

• Jika v menyatakan kecepatan mobil w menyatakan daya angkut u menyatakan usia n menyatakan nilai. Tulislah syarat untuk v, w, u, dan n dalam simbol matematika !
• Perhatikan jawaban anda no. 1

1. Apakah setiap syarat yang anda tulis memuat variabel ?
2. Berapa banyak variabel pada setiap syarat ?
3. Berapa pangkat dari variabelnya ?
4. Apakah dari syarat- syarat pada soal no. 1 merupakan pertidaksamaan linear satu variabel

• Tulislah dalam simbol matematika dari kalimat berikut :

1. Berat badan dari petinju kelas berat adalah lebih dari 125 kg
2. Daya tahan hidup Bola lampu maksimum 1440 jam
3. Untuk menjadi anggota DPR, usia minimal adalah 21 tahun
4. Sebuah negara dikatakan miskin jika pendapat kotornya ( GNP ) kurang dari $300.000/ tahun
5. Seorang pilot harus memiliki tinggi badan minimal 170 cm.

Mengenal PtLSV dalam berbagi bentuk dan variabel

Masalah

Ricko mempunyai 5 kantong bola, masing- masing kantong isinya sama. Ayahnya memberi lagi 12 biji, teryata banyak bola Ricko sekarang lebih dari 70. Bila banyak bola tiap kantong adalah x biji, maka kalimat di atas jika ditulis dalam kalimat matematika menjadi :

5x + ……… > ……….

• Ada berapa variabelnya ?
• Berapa pangkat dari variabelnya ?
• Apakah kalimat itu merupakan kalimat terbuka ?
• Tanda hubung apa yang dipakai dalam kalimat itu ?
• Apakah kalimat itu merupakan pertidaksamaan linear dengan satu variabel ?

Latahian

• Perhatikan kalimat matematika berikut

1. 2x – 3 < 7 f. 5k + 6 ≤ 3 (4k – 10)
2. 4n + 2 = 8 g. 2b – 1 < 5b
3. x + y ≥ 5 h. 4p < 6p – 11
4. a2 < 49 i. 4 > -1
5. 7t + 1 > 2t + 6

Dari kalimat di atas manakah yang merupakan PtLSV dan mana yang bukan PtLSV ? Jika bukan berikan alasannya !

• Buatlah 5 contoh, PtLSV dalam berbagai bentuk dan variabel.